Métodos numéricos para simulación en la ingeniería
Problemas de ingeniería se pueden resolver a través de distintas metodologías, siendo que la solución por métodos numéricos proporciona una serie de puntos positivos que colaboran para una mejor comprensión de los fenómenos con un buen balance entre tiempo, costo y calidad.
Los métodos numéricos son aplicaciones de algoritmos por las cuales es posible formular y solucionar problemas matemáticos usando operaciones aritméticas menos complejas. Ellos también se conocen como métodos indirectos. El análisis numérico idealiza y concibe métodos para «aprobar» de forma eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones «aproximadas» para problemas complejos.
Un algoritmo es un grupo finito de operaciones organizadas y ordenadas que permite solucionar un cierto problema. Se trata de una serie de instrucciones o reglas establecidas que, por medio de una sucesión de etapas, permiten acercar el resultado real.
El análisis numérico es el estudio de algoritmos que busca resultados numéricos de problemas de las más distintas áreas del conocimiento humano, modelados matemáticamente. En general, los algoritmos de métodos numéricos se dividen en directos, recursivos e iterativos. Por ejemplo, los iterativos presentan una sucesión de pasos que converge o no hacia el valor aproximado de la solución exacta. El objetivo del análisis numérico es encontrar sucesiones que aproximen los valores exactos con un número mínimo de operaciones elementales.
Aunque el análisis numérico se haya concebido antes de las computadoras, comúnmente el tema está relacionado a una interdisciplinariedad entre la matemática y la información. También es muy citado en la disciplina de cálculo numérico.
En este artículo presentaremos un panorama introductorio de los fundamentos de los principales métodos, sus diferencias y principales aplicaciones.
Método de los Elementos Finitos (FEM)
El método de los elementos finitos (FEM – Finite Element Method) es un método numérico para solucionar problemas de ingeniería y física matemática. Se aplica a distintas disciplinas de la ingeniería, como estructural, térmica y electromagnética.
Es un método numérico que pasa los límites de los problemas que se resuelven con soluciones analíticas, siendo adecuado para tratar problemas con geometrías, cargas y propiedades de materiales complejos.
Considere un dominio, por ejemplo, la geometría del objeto de estudio. Este dominio se considerará continuo. Este continuo está divide en un número discreto de pequeños cuerpos con formato específico denominados elementos finitos, e interconectados por puntos comunes denominados puntos nodales o nudos.
El procedimiento de discretización (la división del continuo en partes más chicas), ecuacionamiento y cálculo es adecuado para la programación y posterior uso en computadoras, lo que hizo con que sea muy popular y útil para distintas industrias. Resumiendo, la división de la geometría en elementos finitos permite solucionar un problema complejo, subdividiéndolo en problemas más simples, lo que posibilita que la computadora realice con eficiencia estas tareas.
El método de los elementos finitos resuelve distintos problemas, que son ecuacionados y reducidos a sistemas de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, considerándose estructuras se llega a una ecuación, dicha ecuación del movimiento, que resume el equilibrio entre esfuerzos internos de una estructura (fuerza inercial, fuerza de amortiguación y fuerza elástica) y una fuerza externa. Si el problema es estático o casi estático, se considera apenas el equilibrio entre esfuerzos internos elásticos y los esfuerzos externos.
Examínese un problema simple estático, para entendimiento, cuyos fundamentos se aplicarán para solución por el método de los elementos finitos.
En 1660, Robert Hooke observó y describió la llamada ley de la Elasticidad, que tiene su nombre: la Ley de Hooke. Describe que la variación de la tensión con la extensión en un resorte es lineal.
Figura 1: Relación (Ley de Hooke) entre esfuerzo externo (F), rigidez (K) y desplazamiento (u). K.u representa el esfuerzo interno.
En un problema donde la geometría es más compleja que un resorte lineal, se discretiza la geometría y, a partir de cada componente (elemento) de la estructura discretizada y del conocimiento de las propriedades de materias que la constituyen, se obtiene la rigidez del elemento. Los elementos se conectan por los vértices, llamados nudos, formando la estructura continua discretizada.
Matemáticamente, con la rigidez de cada elemento y conociéndose los movimientos de cada nudo llamados grados de libertad (GDL) o, en inglés, Degrees of Freedom (DOF), se forma una matriz de rigidez que representa la rigidez de la estructura de geometría compleja.
En la figura 2, que representa rigidez global, N es el número del grado de libertad.
Figura 2: Matriz de rigidez global de la estructura
Se puede, de esta manera, escribir la relación en forma matricial, entre esfuerzo externo, rigidez y desplazamiento.
Donde:
{ F } vector de esfuerzos externos
[ K ] rigidez global
{ u } vector de los desplazamientos
En este problema, los desplazamientos son los valores desconocidos (las incógnitas) del problema, y, en la secuencia, se utiliza un procedimiento de solución de sistemas de ecuaciones (un solver) y se calculan los desplazamientos de cada nudo. A partir de los desplazamientos se obtienen las tensiones, deformaciones, reacciones de apoyo y otras repuestas que buscan los analistas.
Método de los Elementos Discretos (DEM)
Un método de los elementos discretos o método de los elementos distintos (DEM – Discrete Element Method or Distinct Element Method) es, de hecho, algún método de una familia de métodos para calcular el movimiento y el efecto de un gran número de partículas pequeñas (discretas).
El método de los elementos discretos está relacionado a la dinámica molecular, pero se diferencia debido a la inclusión de grados de libertad (movimientos) de rotación, contacto entre los elementos discretos y, frecuentemente, geometrías complejas usadas para definirlos.
Hay distintas ramificaciones de la familia, como el método de los elementos distintos propuesto por Cundall en 1971, el método de los elementos discretos generalizados (Willians, Hocking y Mustoe) en 1985, el método de deformación discontinua (Shi, 1992) y el método de los elementos finitos discretos desarrollado simultáneamente por distintos equipos (por ejemplo Munjiza y Owen).El método general lo desarrolló originalmente Peter Cundall en 1971 para solucionar problemas con geomecánica (rocas).
En pocas palabras, una simulación con el DEM empieza con la generación de un modelo donde resultan en orientación espacial y velocidad inicial para todas las partículas. Las fuerzas que actúan en cada partícula se calculan a partir de las condiciones iniciales, y de las leyes de la física relevantes (mecánica Newtoniana) y contacto. El resultado, un nuevo arreglo de las partículas, se puede visualizar en un software de visualización proyectado para este fin (un post procesador).
Comúnmente, el DEM se acepta como un método de análisis eficaz para simular problemas de ingeniería que abarca granos y materiales discontinuos como escurrimiento granular y geomecánica. Los recientes avances en la capacidad de solución de grandes sistemas de ecuaciones, ya sea por desarrollo y reducción de precios de las computadoras, procesamiento paralelo y de los algoritmos numéricos, permiten la solución de problemas computacionalmente intensivos, con un gran número de partículas.
Figura 3: Representación del contacto entre partículas (formato esférico).
La premisa fundamental del método es que el material consiste en partículas discretas, separadas. Estas partículas pueden tener distintas formas y propiedades, como, por ejemplo: granos, piedras, arena, toner, comprimidos, azúcar.
Las industrias que típicamente usan el DEM son: agrícola, alimentos, química, minería, farmacéutica, metalurgia del polvo, ingeniería civil, industria de aceite y gas, procesamiento de minerales.
Método de los Volúmenes Finitos (FVM)
El método de volúmenes finitos (Finite Volume Method – FVM en inglés) se introdujo en la década de 1970 por McDonald, MacCormack y Paullay e, históricamente, ha sido el método preferido por los científicos e ingenieros que trabajan con la mecánica de fluidos, aunque él, el FVM, no se limite apenas a la solución de problemas de mecánica de fluidos.
Comúnmente, el método de los volúmenes finitos se usa para solucionar problemas de la mecánica de los fluidos, algunos de ellos considerados complejos, como los que abarcan flujos multifásicos, reactivos o fuertemente turbulentos. En la práctica, el FVM mostró que es el método más eficaz en el cálculo y solución de distintos problemas de mecánica de los fluidos.
Considérese que en el método de volúmenes finitos está la descomposición (discretización) del dominio continuo en pequeños volúmenes, llamados volúmenes de control (VCs), donde las variables se calculan y almacenan en los nudos o en el centro del volumen. Estos volúmenes de control están conectados por estos nudos y definen una reja numérica llamada malla, ilustrada en la Figura 1.La figura 2 muestra los nudos (allí llamados Nudos) en los vértices y centro de los volúmenes.
En el Métodos de los Volúmenes Finitos se usa la idea de observación de Euler, es decir, material fluye por un volumen de control fijo. A partir de los valores calculados en los nudos y centros de los volúmenes de control se obtiene una solución que se transporta al resto del dominio.
Figura 4: Mallas superficiales coloridas por la razón de aspecto de la célula. Disponible en https://blog.pointwise.com
Los principios de conservación de la masa, momentum (cantidad de movimiento) y energía, son la base de la modelación matemática en el Método de los Volúmenes Finitos para la mecánica del continuo. Por definición, estos principios son respetados por las ecuaciones montadas a partir de la discretización del continuo que se realiza en este método. De forma general, el FVM abarca los siguientes pasos:
- Descomponer el dominio en volúmenes de control;
- Formular las ecuaciones integrales de conservación para cada volumen de control;
- Aproximar numéricamente las integrales;
- Aproximar los valores de las variables en las faces y las derivadas con la información de las variables nodales;
- Montar y resolver el sistema algebraico obtenido;
El sistema de ecuaciones se resuelve y, como resultado, se obtienen respuestas como presión, temperatura y velocidad. Obsérvese que es una solución numérica aproximada. Un aspecto fundamental en los algoritmos de solución es el proceso de descomposición de matrices donde se han desarrollado diversas técnicas para aumentar la eficiencia del uso de recursos computacionales y la velocidad de la obtención de resultados.
Figura 5: Nudos en los vértices de los VCs (izquierda) y nudos en los centros de los VCs (derecha) para una reja cuadrilátera.
Otros métodos numéricos usados para la solución de problemas de ingeniería:
Método de los Elementos de Contorno (BEM)
El método de los elementos de contorno (en inglés: boundary element method (BEM)) es un método computacional para la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales, formuladas en forma integral. Se aplica en diversas áreas de la ingeniería, como, por ejemplo, en mecánica de los fluidos, acústica, electromagnetismo y mecánica de fracturas.
En el BEM, el contorno del dominio en estudio es discretizado (dividido en elementos).Esto, en muchos casos, reduce drásticamente el tamaño del problema, además de ser más simple la implementación de pre procesadores (generadores de geometría y de malla).Una vez encontrada la solución en el contorno, en la etapa de post procesamiento, las ecuaciones integrales nuevamente se usan para calcular numéricamente la solución en cualquier punto en el interior del dominio involucrado por el contorno.
Método de las Diferencias Finitas (FDM)
En matemática, los métodos de diferencia finita (FDM – Finite Difference Method en inglés) son métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales, aproximándolos con ecuaciones de diferencia, en las cuales las diferencias finitas se aproximan de las derivadas. Los FDMs son, por lo tanto, métodos de discretización. El método de diferencias finitas depende de la discretización de una función en una reja (“grid”).
Método de Lattice-Boltzmann
Lattice Boltzmann es frecuentemente considerado como un solver numérico de la ecuación de Boltzmann. La ecuación de Boltzmann es el análogo de la ecuación de Navier-Stokes en nivel molecular, donde describe la dinámica espacio-temporal de una cantidad estadística llamada función de distribución de probabilidad, que se define en espacio de fase de 6 dimensiones. El número de fenómenos físicos cubiertos por el modelo en este nivel molecular de descripción es más alto que en el nivel hidrodinámico de la ecuación de Navier-Stokes.
